गणित – इकाई अंक एवं विभाज्यता – Class Test 2

25 Questions • 25 Min

गणित – इकाई अंक एवं विभाज्यता – Class Test 2 — प्रश्न व उत्तर (नमूना)

UP Super TET • गणित • क्लास नोट्स (टीचर PDF) के सभी प्रश्न + थ्योरी से बने प्रश्न • 25 प्रश्न, हर प्रश्न की विस्तृत व्याख्या सहित।

  1. 12²¹ − 12²³ का इकाई अंक (Unit digit) क्या होगा?

    1. 6
    2. 8
    3. 4
    4. 7
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (C) 4

    हल — हर पद का इकाई अंक निकालें:
    (1) 12²¹: इकाई अंक 2 (चक्र 2, 4, 8, 6); घात 21 ÷ 4 = शेषफल 1 → 2¹ = 2 → इकाई अंक 2
    (2) 12²³: इकाई अंक 2 (चक्र 2, 4, 8, 6); घात 23 ÷ 4 = शेषफल 3 → 2³ = 8 → इकाई अंक 8
    अब इकाई अंकों पर वही क्रिया करें: 2 − 8 (उधार लेकर 12 − 8) = -6 → इकाई अंक 4। (घटाने में ऋणात्मक आए तो 10 जोड़ें।)
    अतः उत्तर 4।
    याद रखें — 0, 1, 5, 6: कोई भी घात → वही अंक। 4: विषम घात → 4, सम घात → 6। 9: विषम घात → 9, सम घात → 1। 2, 3, 7, 8: घात को 4 से भाग दें, शेषफल को नई घात मानें (शेष 0 हो तो 4)।

  2. 532⁵³²¹ + 533⁵³³² − 534⁵³⁴² का इकाई अंक (Unit digit) क्या होगा?

    1. 5
    2. 1
    3. 3
    4. 7
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (D) 7

    हल — हर पद का इकाई अंक निकालें:
    (1) 532⁵³²¹: इकाई अंक 2 (चक्र 2, 4, 8, 6); घात 5321 ÷ 4 = शेषफल 1 → 2¹ = 2 → इकाई अंक 2
    (2) 533⁵³³²: इकाई अंक 3 (चक्र 3, 9, 7, 1); घात 5332 ÷ 4 = शेषफल 0 (शेष 0 → घात 4 मानें) → 3⁴ = 81 → इकाई अंक 1
    (3) 534⁵³⁴²: इकाई अंक 4, घात 5342 सम है — 4 की सम घात का इकाई अंक 6 (4¹ = 4, 4² = 16) → 6
    अब इकाई अंकों पर वही क्रिया करें: 2 + 1 − 6 = -3 → इकाई अंक 7। (घटाने में ऋणात्मक आए तो 10 जोड़ें।)
    अतः उत्तर 7।
    याद रखें — 0, 1, 5, 6: कोई भी घात → वही अंक। 4: विषम घात → 4, सम घात → 6। 9: विषम घात → 9, सम घात → 1। 2, 3, 7, 8: घात को 4 से भाग दें, शेषफल को नई घात मानें (शेष 0 हो तो 4)।

  3. 4¹ × 9² × 4³ × 9⁴ × … × 4⁹⁹ × 9¹⁰⁰ का इकाई अंक (Unit digit) क्या होगा?

    1. 0
    2. 2
    3. 6
    4. 4
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (C) 6

    हल: पदों को दो समूहों में बाँटें।
    (1) 9², 9⁴, …, 9¹⁰⁰ — सभी घातें सम हैं, 9 की सम घात का इकाई अंक 1; 1 × 1 × … = 1।
    (2) 4¹, 4³, …, 4⁹⁹ — कुल 50 पद; 4¹ × 4³ × … = 4^(1+3+…+99) = 4^2500 (घात सम) → इकाई अंक 6।
    (सरल तरीका: 4 × 4 = 16 → 6, यानी हर दो 4 मिलकर 6 बनाते हैं; 50 पद = 25 जोड़े → 6 × 6 × … = 6।)
    अब 6 × 1 = 6।
    अतः उत्तर 6।

  4. 4¹ + 9² + 4³ + 9⁴ + … + 4⁹⁹ + 9¹⁰⁰ का इकाई अंक (Unit digit) क्या होगा?

    1. 0
    2. 2
    3. 4
    4. 6
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (A) 0

    हल: यहाँ जोड़ है, इसलिए हर पद का इकाई अंक जोड़ना होगा।
    (1) 4¹, 4³, …, 4⁹⁹ — सभी विषम घातें, हर एक का इकाई अंक 4; ऐसे पद 50 हैं → 4 × 50 = 200।
    (2) 9², 9⁴, …, 9¹⁰⁰ — सभी सम घातें, हर एक का इकाई अंक 1; ऐसे पद 50 हैं → 1 × 50 = 50।
    कुल = 200 + 50 = 250 → इकाई अंक 0।
    अतः उत्तर 0।

  5. (1 × 2 × 3 × … × 10) ÷ 100 का इकाई अंक (Unit digit) क्या होगा?

    1. 4
    2. 8
    3. 2
    4. 6
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (B) 8

    हल: 1 × 2 × 3 × … × 10 = 10! = 36,28,800।
    इसे 100 से भाग देने पर अंत के दो शून्य हट जाते हैं: 36,28,800 ÷ 100 = 36,288।
    दूसरा तरीका: 2 × 5 × 10 = 100 को काट दें; बचा 1 × 3 × 4 × 6 × 7 × 8 × 9 — इकाई अंक: 3 × 4 = 12 → 2, × 6 = 12 → 2, × 7 = 14 → 4, × 8 = 32 → 2, × 9 = 18 → 8।
    अतः उत्तर 8।

  6. यदि संख्या 23414*, 2 से विभाज्य है, तो दिए गए विकल्पों में से * के स्थान पर कौन सा अंक होगा?

    1. 1
    2. 6
    3. 5
    4. 3
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (B) 6

    नियम: 2 से विभाज्य होने के लिए — अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, 8 हो।
    अंक 0 से एक-एक करके रखकर देखें:
    * = 0: 234140 → अंतिम 1 अंक 0 → 0 ÷ 2 = 0 (पूरा भाग) ✔
    * = 1: 234141 → अंतिम 1 अंक 1 → 1 ÷ 2 (पूरा भाग नहीं) ✘
    …
    * = 5: 234145 → अंतिम 1 अंक 5 → 5 ÷ 2 (पूरा भाग नहीं) ✘
    * = 6: 234146 → अंतिम 1 अंक 6 → 6 ÷ 2 = 3 (पूरा भाग) ✔
    अतः * = 6 रखने पर 234146 ÷ 2 = 117073 (शेष 0)।
    (ध्यान दें: * = 0 भी सम्भव है, पर वह विकल्पों में नहीं है।)

  7. यदि संख्या 124*2, 4 से विभाज्य है, तो * के स्थान पर सबसे छोटा अंक क्या होगा?

    1. 1
    2. 0
    3. 3
    4. 2
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (A) 1

    नियम: 4 से विभाज्य होने के लिए — अंतिम 2 अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो।
    अंक 0 से एक-एक करके रखकर देखें:
    * = 0: 12402 → अंतिम 2 अंक 02 → 02 ÷ 4 (पूरा भाग नहीं) ✘
    * = 1: 12412 → अंतिम 2 अंक 12 → 12 ÷ 4 = 3 (पूरा भाग) ✔
    अतः * = 1 रखने पर 12412 ÷ 4 = 3103 (शेष 0)।
    (अन्य सम्भव अंक: 3, 5, 7, 9 — पर सबसे छोटा 1 है।)

  8. यदि संख्या 41311*, 8 से विभाज्य है, तो * के स्थान पर कौन सा अंक होगा?

    1. 3
    2. 1
    3. 2
    4. 0
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (C) 2

    नियम: 8 से विभाज्य होने के लिए — अंतिम 3 अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो।
    अंक 0 से एक-एक करके रखकर देखें:
    * = 0: 413110 → अंतिम 3 अंक 110 → 110 ÷ 8 (पूरा भाग नहीं) ✘
    * = 1: 413111 → अंतिम 3 अंक 111 → 111 ÷ 8 (पूरा भाग नहीं) ✘
    * = 2: 413112 → अंतिम 3 अंक 112 → 112 ÷ 8 = 14 (पूरा भाग) ✔
    अतः * = 2 रखने पर 413112 ÷ 8 = 51639 (शेष 0)।

  9. यदि संख्या 9456819*, 16 से विभाज्य है, तो * के स्थान पर कौन सा अंक होगा?

    1. 0
    2. 2
    3. 3
    4. 1
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (B) 2

    नियम: 16 से विभाज्य होने के लिए — अंतिम 4 अंकों से बनी संख्या 16 से विभाज्य हो।
    अंक 0 से एक-एक करके रखकर देखें:
    * = 0: 94568190 → अंतिम 4 अंक 8190 → 8190 ÷ 16 (पूरा भाग नहीं) ✘
    * = 1: 94568191 → अंतिम 4 अंक 8191 → 8191 ÷ 16 (पूरा भाग नहीं) ✘
    * = 2: 94568192 → अंतिम 4 अंक 8192 → 8192 ÷ 16 = 512 (पूरा भाग) ✔
    अतः * = 2 रखने पर 94568192 ÷ 16 = 5910512 (शेष 0)।

  10. यदि संख्या 123*, 5 से विभाज्य है, तो * के स्थान पर सबसे छोटा अंक क्या होगा?

    1. 0
    2. 3
    3. 5
    4. 1
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (A) 0

    नियम: 5 से विभाज्य होने के लिए — अंतिम अंक 0 या 5 हो।
    अंक 0 से एक-एक करके रखकर देखें:
    * = 0: 1230 → अंतिम 1 अंक 0 → 0 ÷ 5 = 0 (पूरा भाग) ✔
    अतः * = 0 रखने पर 1230 ÷ 5 = 246 (शेष 0)।
    (अन्य सम्भव अंक: 5 — पर सबसे छोटा 0 है।)

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