गणित क्लास टेस्ट 10 – समांतर श्रेणी (A.P.)

14 Questions • 20 Min

गणित क्लास टेस्ट 10 – समांतर श्रेणी (A.P.) — प्रश्न व उत्तर (नमूना)

Bihar STET • Mathematics • क्लास टेस्ट 10 (समांतर श्रेणी (A.P.)) • PDF के प्रश्न उसी क्रम और उसी भाषा में • 14 प्रश्न • हर प्रश्न का step-by-step हल।

  1. Q. किसी A.P के P पदों का योग 3P² + 4P है। श्रेणी का nवां पद = ?

    1. 5n + 1
    2. 6n + 1
    3. 5n − 2
    4. 6n − 1
    5. NOT
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (B) 6n + 1

    ✅ सही उत्तर: (B) 6n + 1

    📝 हल:
    जब n पदों का योग Sₙ दिया हो, तो पहला पद = S₁ और S₂ = a + (a + d).

    चरण 1: S₁ = a = 3(1)² + 4(1) = 7
    चरण 2: S₂ = 3(2)² + 4(2) = 12 + 8 = 20 ⇒ a + a + d = 20 ⇒ 14 + d = 20 ⇒ d = 6
    चरण 3: nवां पद = a + (n − 1)d = 7 + (n − 1)6 = 7 + 6n − 6 = 6n + 1

    ट्रिक: Sₙ = An² + Bn हो तो d = 2A = 2 × 3 = 6 और Tₙ = 2An + (B − A) = 6n + 1.

  2. किसी △ के कोण A.P में है। यदि सबसे छोटे कोण की माप सबसे बड़े कोण से 50 कम है। तो सबसे बड़ा कोण?

    1. 80
    2. 85
    3. 75
    4. 82
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (B) 85

    ✅ सही उत्तर: (B) 85

    📝 हल:
    A.P में तीन कोण = a − d, a, a + d

    चरण 1: त्रिभुज के कोणों का योग 180° ⇒ (a − d) + a + (a + d) = 180 ⇒ 3a = 180 ⇒ a = 60°
    चरण 2: सबसे बड़ा − सबसे छोटा = (a + d) − (a − d) = 2d = 50 ⇒ d = 25
    चरण 3: सबसे बड़ा कोण = a + d = 60 + 25 = 85°
    (सबसे छोटा = 35°, बीच वाला = 60°; जाँच: 35 + 60 + 85 = 180 ✓)

  3. 2 + 4 + 6 + - - - - + 2n = ?

    1. n²
    2. n(n + 1)
    3. 2n(n + 1)
    4. n(n − 1)
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (B) n(n + 1)

    ✅ सही उत्तर: (B) n(n + 1)

    📝 हल:
    तरीका 1: 2 बाहर निकालें — 2(1 + 2 + 3 + … + n) = 2 × n(n + 1)/2 = n(n + 1)

    तरीका 2 (A.P सूत्र): a = 2, d = 2, अंतिम पद l = 2n
    पदों की संख्या = (l − a)/d + 1 = (2n − 2)/2 + 1 = n
    Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] = n/2 [4 + 2n − 2] = n/2 (2n + 2) = n(n + 1)

  4. p, q, r → A.P में और x, y, z → G.P में हों, तो x^(q−r) · y^(r−p) · z^(p−q) = ?

    1. 0
    2. 1
    3. xyz
    4. p + q + r
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (B) 1

    ✅ सही उत्तर: (B) 1

    📝 हल:
    सबसे आसान तरीका — मान रखकर जाँचें:
    p, q, r = 1, 2, 3 (A.P) और x, y, z = 1, 2, 4 (G.P)
    x^(q−r) = 1^(−1) = 1
    y^(r−p) = 2^(2) = 4
    z^(p−q) = 4^(−1) = 1/4
    गुणनफल = 1 × 4 × 1/4 = 1

    सामान्य हल: A.P में q − r = r − q … ; मान लें x = A, y = AR, z = AR². तब घातों का योग (q − r) + (r − p) + (p − q) = 0 और R की घात (r − p) + 2(p − q) = r + p − 2q = 0 (क्योंकि 2q = p + r) ⇒ उत्तर = A⁰R⁰ = 1.

  5. Q. 5, 15, 25 - - - में कौनसा पद 31वें पद से 30 ज्यादा है।

    1. 32वाँ
    2. 33वाँ
    3. 34वाँ
    4. 35वाँ
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (C) 34वाँ

    ✅ सही उत्तर: (C) 34वाँ

    📝 हल:
    a = 5, d = 10
    31वाँ पद = a + 30d = 5 + 300 = 305
    पूछा गया पद = 305 + 30 = 335
    335 = 5 + (n − 1)10 ⇒ 330 = (n − 1)10 ⇒ n − 1 = 33 ⇒ n = 34

    ट्रिक: 30 अधिक = 30/d = 30/10 = 3 पद आगे ⇒ 31 + 3 = 34वाँ पद।

  6. Q. 3, 15, 27, 39, - - - में कौनसा पद 54वें पद से 132 अधिक है।

    1. 64वाँ
    2. 65वाँ
    3. 66वाँ
    4. 76वाँ
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (B) 65वाँ

    ✅ सही उत्तर: (B) 65वाँ

    📝 हल:
    a = 3, d = 12
    54वाँ पद = a + 53d = 3 + 53 × 12 = 3 + 636 = 639
    पूछा गया पद = 639 + 132 = 771
    771 = 3 + (n − 1)12 ⇒ 768 = 12(n − 1) ⇒ n − 1 = 64 ⇒ n = 65

    ट्रिक: 132/d = 132/12 = 11 पद आगे ⇒ 54 + 11 = 65वाँ पद।

  7. G.P: (1/2) + (1/2)² + (1/2)³ + - - - + (1/2)¹⁰ = 1/k, find k = ?

    1. 1024/1023
    2. 1023/1024
    3. 1024
    4. 2/1023
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (A) 1024/1023

    ✅ सही उत्तर: (A) 1024/1023

    📝 हल:
    यह G.P है: a = 1/2, r = 1/2, n = 10
    Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) = (1/2)(1 − 1/2¹⁰)/(1/2) = 1 − 1/2¹⁰ = (2¹⁰ − 1)/2¹⁰ = 1023/1024
    1/k = 1023/1024 ⇒ k = 1024/1023

    सामान्य रूप में: k = 2ⁿ/(2ⁿ − 1)

  8. Q. 121, 117, 113 - - - का कौनसा पद ऋणात्मक होगा?

    1. 30वाँ
    2. 31वाँ
    3. 32वाँ
    4. 33वाँ
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (C) 32वाँ

    ✅ सही उत्तर: (C) 32वाँ

    📝 हल:
    a = 121, d = −4
    nवाँ पद = 121 + (n − 1)(−4) = 125 − 4n
    ऋणात्मक के लिए: 125 − 4n < 0 ⇒ n > 31.25
    सबसे छोटा पूर्णांक n = 32 ⇒ 32वाँ पद पहला ऋणात्मक पद है।
    जाँच: 31वाँ पद = 125 − 124 = 1 (धनात्मक), 32वाँ पद = 125 − 128 = −3 ✓

  9. 114, 109, 104 - - - का कौनसा पद सबसे पहले −ve होगा।

    1. 22वाँ
    2. 23वाँ
    3. 24वाँ
    4. 25वाँ
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (C) 24वाँ

    ✅ सही उत्तर: (C) 24वाँ

    📝 हल:
    a = 114, d = −5
    nवाँ पद = 114 + (n − 1)(−5) = 119 − 5n
    119 − 5n < 0 ⇒ n > 23.8 ⇒ n = 24
    जाँच: 23वाँ पद = 119 − 115 = 4, 24वाँ पद = 119 − 120 = −1 ✓

  10. A.P के n पदों का योग = n² + 3n, find d = ?

    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 4
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (B) 2

    ✅ सही उत्तर: (B) 2

    📝 हल:
    S₁ = a = 1² + 3 × 1 = 4
    S₂ = a + (a + d) = 2² + 3 × 2 = 10 ⇒ 2a + d = 10 ⇒ 8 + d = 10 ⇒ d = 2
    श्रेणी: 4, 6, 8, 10, …

    ट्रिक: Sₙ = An² + Bn ⇒ d = 2A = 2 × 1 = 2

पूरे 14 प्रश्न हल करने के लिए ऊपर टेस्ट शुरू करें।

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