गणित क्लास टेस्ट 13 – संख्या पद्धति (Number System) – 2

15 Questions • 20 Min

गणित क्लास टेस्ट 13 – संख्या पद्धति (Number System) – 2 — प्रश्न व उत्तर (नमूना)

Bihar STET • Mathematics • क्लास टेस्ट 13 (संख्या पद्धति (Number System) – 2) • PDF के प्रश्न उसी क्रम और उसी भाषा में • 15 प्रश्न • हर प्रश्न का step-by-step हल।

  1. 62. If a, b, c are three natural numbers such that c is a factor of ab and c is co – prime to a, then
    यदि a, b, c तीन प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिससे c, ab का एक गुणनखंड है और c, a का सह-अभाज्य है, तो

    1. b is a factor of c
    2. c is a factor of b
    3. a is a factor of b
    4. b is a factor of a
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (B) c is a factor of b

    ✅ सही उत्तर: (B) c is a factor of b

    📝 हल:
    c, ab को बाँटता है पर c और a में कोई साझा गुणनखंड नहीं (सह-अभाज्य)
    ⇒ c का पूरा भाग b में ही जाना चाहिए ⇒ c, b का गुणनखंड है।
    उदाहरण: a = 3, b = 4, c = 2 ⇒ 2 | 12 और (2, 3) सह-अभाज्य ⇒ 2 | 4 ✓

  2. 63. Of the following statements for natural numbers a, b and c
    प्राकृतिक संख्याओं a, b और c के लिए निम्नलिखित कथनों में से
    I. If a is divisible by b and b is divisible by c, then a must be divisible by c.
    यदि a, b से विभाज्य है और b, c से विभाज्य है, तो a को c से विभाज्य होना चाहिए।
    II. If a is a factor of both b and c, then a must be a factor of b + c.
    यदि a, b और c दोनों का गुणनखंड है, तो a को b + c का गुणनखंड होना चाहिए।
    III. If a is a factor of both b and c, then a must be a factor of b − c, the true ones are:
    यदि a, b और c दोनों का गुणनखंड है, तो a को b − c का गुणनखंड होना चाहिए, सत्य कथन हैं:

    1. I and II / I और II
    2. I and III / I और III
    3. II and III / II और III
    4. I, II and III / I, II और III
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (D) I, II and III / I, II और III

    ✅ सही उत्तर: (D) I, II and III / I, II और III

    📝 हल:
    I सत्य: a = 20, b = 10, c = 5 ⇒ 20, 10 से और 10, 5 से विभाज्य ⇒ 20, 5 से विभाज्य ✓
    II सत्य: a | b और a | c ⇒ b = am, c = an ⇒ b + c = a(m + n) ⇒ a | (b + c)
    III सत्य: इसी तरह b − c = a(m − n) ⇒ a | (b − c)
    (उदाहरण: a = 5, b = 10, c = 20 ⇒ 30 और −10 दोनों 5 से विभाज्य)
    अतः तीनों कथन सत्य।

  3. 64. The ralation between x and y, if x divides y and y divides x, is
    यदि x, y को विभाजित करता है और y, x को विभाजित करता है, तो x और y के बीच संबंध है

    1. x>y
    2. x<y
    3. x=y
    4. None of these
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (C) x=y

    ✅ सही उत्तर: (C) x=y

    📝 हल:
    x | y ⇒ y ≥ x (प्राकृतिक संख्याओं में) और y | x ⇒ x ≥ y
    दोनों एक साथ तभी सत्य जब x = y

  4. 65. A number is always divisible by 25 only if
    एक संख्या हमेशा 25 से तभी विभाज्य होगी जब

    1. the last digit of the number is zero. / संख्या का अंतिम अंक शून्य हो।
    2. the last digit of the number is 5. / संख्या का अंतिम अंक 5 है।
    3. the last two digits of the number is divisible by 5. / संख्या के अंतिम दो अंक 5 से विभाज्य हैं।
    4. the last two digits of the number is divisible by 25. / संख्या के अंतिम दो अंक 25 से विभाज्य हैं।
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (D) the last two digits of the number is divisible by 25. / संख्या के अंतिम दो अंक 25 से विभाज्य हैं।

    ✅ सही उत्तर: (D) the last two digits of the number is divisible by 25. / संख्या के अंतिम दो अंक 25 से विभाज्य हैं।

    📝 हल:
    25 से विभाज्यता का नियम: अंतिम दो अंक (00, 25, 50, 75) 25 से विभाज्य हों।
    (a) गलत: 20 का अंतिम अंक 0 है पर 25 से विभाज्य नहीं
    (b) गलत: 35 का अंतिम अंक 5 है पर विभाज्य नहीं
    (c) गलत: 115 के अंतिम दो अंक 15 (5 से विभाज्य) पर 115, 25 से विभाज्य नहीं
    (d) सही: 125 → 25 ✓

  5. 66. If x,y and z are real numbers such that x < y and z < 0, then the statement which is true is
    यदि x, y और z वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि x < y और z < 0, तो कौन सा कथन सत्य है

    1. xz < yz
    2. (x/z) < (y/z)
    3. (z/x) > (z/y)
    4. xz > yz
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (D) xz > yz

    ✅ सही उत्तर: (D) xz > yz

    📝 हल:
    नियम: किसी असमिका को ऋणात्मक संख्या से गुणा/भाग करने पर चिह्न उलट जाता है।
    x < y और z < 0 ⇒ xz > yz
    उदाहरण: x = 5, y = 8, z = −2 ⇒ xz = −10, yz = −16 ⇒ −10 > −16 ✓
    (b) गलत: x/z = −2.5, y/z = −4 ⇒ x/z > y/z
    (c) गलत: z/x = −0.4, z/y = −0.25 ⇒ z/x < z/y

  6. 67. When n is even, the product n (n + 1) (n + 2) is divisible by
    जब n सम हो, तो गुणनफल n (n + 1) (n + 2) किससे विभाज्य होता है?

    1. 24
    2. 7
    3. 0
    4. None
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (A) 24

    ✅ सही उत्तर: (A) 24

    📝 हल:
    तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल हमेशा 6 से विभाज्य होता है। n सम हो तो n और n + 2 दोनों सम हैं और इनमें से एक 4 से भी विभाज्य ⇒ 8 का गुणनखंड भी मिलता है।
    इसलिए गुणनफल 8 × 3 = 24 से हमेशा विभाज्य।
    जाँच: n = 2 ⇒ 2 × 3 × 4 = 24; n = 4 ⇒ 4 × 5 × 6 = 120 = 24 × 5 ✓

  7. 68. Which of the following statements is correct?
    निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

    1. If n is odd, (10)ⁿ − 1 is divisible by 11 / यदि n विषम है, तो (10)ⁿ − 1, 11 से विभाज्य है
    2. If n is even, (10)ⁿ − 1 is divisible by 11 / यदि n सम है, तो (10)ⁿ − 1, 11 से विभाज्य है
    3. If n is odd, (5)ⁿ − 1 is divisible by 5 / यदि n विषम है, तो (5)ⁿ − 1, 5 से विभाज्य है
    4. If n is even, (5)ⁿ − 1 is divisible by 5 / यदि n सम है, तो (5)ⁿ − 1, 5 से विभाज्य है
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (B) If n is even, (10)ⁿ − 1 is divisible by 11 / यदि n सम है, तो (10)ⁿ − 1, 11 से विभाज्य है

    ✅ सही उत्तर: (B) If n is even, (10)ⁿ − 1 is divisible by 11 / यदि n सम है, तो (10)ⁿ − 1, 11 से विभाज्य है

    📝 हल:
    n सम: 10² − 1 = 99 = 11 × 9 ✓; 10⁴ − 1 = 9999 = 11 × 909 ✓ ⇒ (b) सही
    n विषम: 10¹ − 1 = 9 (11 से नहीं) ⇒ (a) गलत
    5ⁿ − 1 का अंतिम अंक हमेशा 4 ⇒ 5 से कभी विभाज्य नहीं ⇒ (c), (d) गलत

  8. 69. Consider the following statements:
    निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
    Assertion (A): The square of any integer is either divisible by 4 or leaves the remainder 1 when divided by 4.
    अभिकथन (A): किसी भी पूर्णांक का वर्ग या तो 4 से विभाज्य होता है या 4 से विभाजित होने पर शेष 1 छोड़ता है।
    Reason (R): Since the square of any integer is of the form 4q² + 4q + 1.
    कारण (R): चूँकि किसी भी पूर्णांक का वर्ग 4q² + 4q + 1 के रूप का होता है।
    of these statement. / इन कथनों में से।

    1. both A and R are true and R is the correct explanation of A. / A और R दोनों सत्य हैं और R, A का सही स्पष्टीकरण है।
    2. both A and R are true and R is not the correct explanation of A. / A और R दोनों सत्य हैं और R, A का सही स्पष्टीकरण नहीं है।
    3. A is true and R is false. / A सत्य है और R असत्य है।
    4. A is false and R is true. / A असत्य है और R सत्य है।
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (C) A is true and R is false. / A सत्य है और R असत्य है।

    ✅ सही उत्तर: (C) A is true and R is false. / A सत्य है और R असत्य है।

    📝 हल:
    A सत्य: सम पूर्णांक (2q) का वर्ग = 4q² → 4 से विभाज्य; विषम पूर्णांक (2q + 1) का वर्ग = 4q² + 4q + 1 → शेष 1.
    R असत्य: R कहता है कि 'किसी भी पूर्णांक' का वर्ग 4q² + 4q + 1 रूप का होता है — यह केवल विषम पूर्णांकों के लिए सही है। सम पूर्णांक का वर्ग 4q² रूप का होता है (जैसे 2² = 4, जो 4q² + 4q + 1 रूप का नहीं)।
    इसलिए सही उत्तर: (c) A सत्य है और R असत्य है।

    ध्यान दें: PDF में (a) पर निशान है, पर R में 'किसी भी पूर्णांक' लिखा है जो सम संख्याओं पर लागू नहीं होता — इसलिए सही उत्तर (c) है।

  9. 70. The number of positive divisors of 20 excluding 1, is:
    1 को छोड़कर 20 के धनात्मक भाजकों की संख्या है:

    1. 4
    2. 5
    3. 6
    4. 7
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (B) 5

    ✅ सही उत्तर: (B) 5

    📝 हल:
    20 = 2² × 5 ⇒ कुल भाजक = (2 + 1)(1 + 1) = 6: 1, 2, 4, 5, 10, 20
    1 को छोड़कर = 5 (2, 4, 5, 10, 20)

  10. 71. Consider the following statements:
    निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
    Assertion (A): For any two integers a and b with b ≠ 0, there exist unique integers q and r such that a = bq + r, 0 ≤ r < | b |.
    अभिकथन (A): b ≠ 0 वाले किसी भी दो पूर्णांक a और b के लिए, ऐसे अद्वितीय पूर्णांक q और r मौजूद होते हैं जिससे a = bq + r, 0 ≤ r < | b |।
    Reason (R): An integer a which is not exactly divisible by 3 can be written in one of the forms a = 3n + 1 or a = 3n + 2, where n is an integer
    कारण (R): एक पूर्णांक a जो 3 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है, उसे a = 3n + 1 या a = 3n + 2 में से किसी एक रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ n एक पूर्णांक है
    Of these statements, / इन कथनों में से,

    1. both A and R are true and R is the correct explanation of A. / A और R दोनों सत्य हैं और R, A का सही स्पष्टीकरण है।
    2. both A and R are true and R is not the correct explanation of A. / A और R दोनों सत्य हैं और R, A का सही स्पष्टीकरण नहीं है।
    3. A is true and R is false. / A सत्य है और R असत्य है।
    4. A is false and R is true. / A असत्य है और R सत्य है।
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (B) both A and R are true and R is not the correct explanation of A. / A और R दोनों सत्य हैं और R, A का सही स्पष्टीकरण नहीं है।

    ✅ सही उत्तर: (B) both A and R are true and R is not the correct explanation of A. / A और R दोनों सत्य हैं और R, A का सही स्पष्टीकरण नहीं है।

    📝 हल:
    A सत्य: यह यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Division Algorithm) है।
    R सत्य: 3 से भाग देने पर शेष 0, 1 या 2 होता है; 3 से विभाज्य न हो तो शेष 1 या 2 ⇒ a = 3n + 1 या 3n + 2.
    पर R, A का कारण नहीं है — उल्टा R, A का एक उदाहरण/परिणाम है (A में b = 3 रखने से R मिलता है)। A सामान्य नियम है, R उसका विशेष रूप।
    अतः (b): दोनों सत्य, पर R, A की सही व्याख्या नहीं।

    ध्यान दें: PDF में (a) पर निशान है; किसी परिणाम (R) से उसके सामान्य नियम (A) की व्याख्या नहीं होती, इसलिए सही उत्तर (b) है।

पूरे 15 प्रश्न हल करने के लिए ऊपर टेस्ट शुरू करें।

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