गणित क्लास टेस्ट 7 – बीजगणित – x + 1/x सर्वसमिकाएँ

गणित क्लास टेस्ट 7 – बीजगणित – x + 1/x सर्वसमिकाएँ — प्रश्न व उत्तर (नमूना)

Bihar STET • Mathematics • क्लास टेस्ट 7 • PDF के सभी प्रश्न उसी क्रम और उसी भाषा में • 18 प्रश्न • हर प्रश्न का step-by-step हल।

1. 31. If x > 1, and x⁴ + 1/x⁴ = 79, what is the value of x − 1/x ?
   यदि x > 1 और x⁴ + 1/x⁴ = 79 हैं, तो x − 1/x का मान क्या हैं?

   1. 2√2
   2. √7
   3. √11
   4. √10
   उत्तर व व्याख्या देखें

   उत्तर: (B) √7

   ✅ सही उत्तर: (B) √7
   
   📝 हल:
   मुख्य सूत्र:
   • x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = (x − 1/x)² + 2
   • (x + 1/x)² − (x − 1/x)² = 4
   • x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)
   • x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x)
   
   x² + 1/x² = √(79 + 2) = 9
   x − 1/x = √(9 − 2) = √7 (x > 1 ⇒ धनात्मक)

2. 32. If x⁴ + 1/x⁴ = 727, x > 1 then what is the value of (x − 1/x)?
   यदि x⁴ + 1/x⁴ = 727, x > 1 हैं, तो (x − 1/x) का मान क्या हैं?

   1. 6
   2. −6
   3. −5
   4. 5
   उत्तर व व्याख्या देखें

   उत्तर: (D) 5

   ✅ सही उत्तर: (D) 5
   
   📝 हल:
   मुख्य सूत्र:
   • x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = (x − 1/x)² + 2
   • (x + 1/x)² − (x − 1/x)² = 4
   • x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)
   • x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x)
   
   x² + 1/x² = √(727 + 2) = √729 = 27
   x − 1/x = √(27 − 2) = √25 = 5 (x > 1 ⇒ धनात्मक, इसलिए −5 नहीं)

3. 33. If (x² + 1/x²) = 18, and x > 1, what is the value of (x³ − 1/x³)?
   यदि (x² + 1/x²) = 18 और x > 1 तो (x³ − 1/x³) का मान क्या हैं?

   1. 52
   2. 76
   3. 80
   4. 64
   उत्तर व व्याख्या देखें

   उत्तर: (B) 76

   ✅ सही उत्तर: (B) 76
   
   📝 हल:
   मुख्य सूत्र:
   • x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = (x − 1/x)² + 2
   • (x + 1/x)² − (x − 1/x)² = 4
   • x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)
   • x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x)
   
   x − 1/x = √(18 − 2) = 4
   x³ − 1/x³ = 4³ + 3 × 4 = 64 + 12 = 76

4. 35. If (p² + 1/p² = 14), then find the value of p³ + 1/p³ ?
   यदि (p² + 1/p² = 14) हैं, तो p³ + 1/p³ का मान ज्ञात कीजिए?

   1. 56
   2. 60
   3. 48
   4. 52
   उत्तर व व्याख्या देखें

   उत्तर: (D) 52

   ✅ सही उत्तर: (D) 52
   
   📝 हल:
   मुख्य सूत्र:
   • x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = (x − 1/x)² + 2
   • (x + 1/x)² − (x − 1/x)² = 4
   • x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)
   • x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x)
   
   p + 1/p = √(14 + 2) = 4
   p³ + 1/p³ = 4³ − 3 × 4 = 64 − 12 = 52

5. 36. If a⁴ + 1/a⁴ = 194, then what is the value of a³ + 1/a³ ?
   यदि a⁴ + 1/a⁴ = 194 तो a³ + 1/a³ का मान क्या हैं?

   1. 50
   2. 52
   3. 48
   4. 44
   उत्तर व व्याख्या देखें

   उत्तर: (B) 52

   ✅ सही उत्तर: (B) 52
   
   📝 हल:
   मुख्य सूत्र:
   • x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = (x − 1/x)² + 2
   • (x + 1/x)² − (x − 1/x)² = 4
   • x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)
   • x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x)
   
   a² + 1/a² = √(194 + 2) = 14
   a + 1/a = √(14 + 2) = 4
   a³ + 1/a³ = 4³ − 3 × 4 = 52

6. 37. If x − 1/x = 5, then what is the value of x + 1/x ?

   1. ±√29
   2. ±√28
   3. ±√39
   4. ±√38
   उत्तर व व्याख्या देखें

   उत्तर: (A) ±√29

   ✅ सही उत्तर: (A) ±√29
   
   📝 हल:
   मुख्य सूत्र:
   • x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = (x − 1/x)² + 2
   • (x + 1/x)² − (x − 1/x)² = 4
   • x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)
   • x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x)
   
   (x + 1/x)² = (x − 1/x)² + 4 = 25 + 4 = 29 ⇒ x + 1/x = ±√29

7. 38. If x + 1/x = 7, then what is the value of x − 1/x ?
   यदि x + 1/x = 7 हैं, तो x − 1/x का मान क्या हैं?

   1. ±5√5
   2. ±4√5
   3. ±2√5
   4. ±3√5
   उत्तर व व्याख्या देखें

   उत्तर: (D) ±3√5

   ✅ सही उत्तर: (D) ±3√5
   
   📝 हल:
   मुख्य सूत्र:
   • x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = (x − 1/x)² + 2
   • (x + 1/x)² − (x − 1/x)² = 4
   • x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)
   • x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x)
   
   (x − 1/x)² = (x + 1/x)² − 4 = 49 − 4 = 45 ⇒ x − 1/x = ±√45 = ±3√5

8. 39. If x + 1/x = 3, then what is the value of x − 1/x ?
   यदि x + 1/x = 3 हैं, तो x − 1/x का मान क्या हैं?

   1. √5
   2. √7
   3. √4
   4. √6
   उत्तर व व्याख्या देखें

   उत्तर: (A) √5

   ✅ सही उत्तर: (A) √5
   
   📝 हल:
   मुख्य सूत्र:
   • x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = (x − 1/x)² + 2
   • (x + 1/x)² − (x − 1/x)² = 4
   • x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)
   • x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x)
   
   (x − 1/x)² = 3² − 4 = 5 ⇒ x − 1/x = √5

9. 40. If x − 1/x = 9, then what is the value of x + 1/x?
   यदि x − 1/x = 9 हैं, तो x + 1/x का मान क्या हैं?

   1. ±√75
   2. ±√70
   3. ±√85
   4. ±√80
   उत्तर व व्याख्या देखें

   उत्तर: (C) ±√85

   ✅ सही उत्तर: (C) ±√85
   
   📝 हल:
   मुख्य सूत्र:
   • x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = (x − 1/x)² + 2
   • (x + 1/x)² − (x − 1/x)² = 4
   • x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)
   • x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x)
   
   (x + 1/x)² = 9² + 4 = 85 ⇒ x + 1/x = ±√85

10. 41. If (x + 1/x) = 6, and x > 1, find the value of (x² − 1/x²).
    यदि (x + 1/x) = 6 और x > 1 हैं, तो (x² − 1/x²) का ज्ञात कीजिए?

    1. 18√2
    2. 30√2
    3. 24√2
    4. 12√10
    उत्तर व व्याख्या देखें

    उत्तर: (C) 24√2

    ✅ सही उत्तर: (C) 24√2
    
    📝 हल:
    मुख्य सूत्र:
    • x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = (x − 1/x)² + 2
    • (x + 1/x)² − (x − 1/x)² = 4
    • x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)
    • x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x)
    
    x − 1/x = √(6² − 4) = √32 = 4√2
    x² − 1/x² = (x + 1/x)(x − 1/x) = 6 × 4√2 = 24√2

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